一个简单的恋爱动力学模型

非线性动力学 数学模型 恋爱

Part I.

有一个简单的模型能够描述恋爱中的小情侣之间的拉扯游戏，并且能够很好地帮我们复习线非性动力学中的主要知识，我觉得很有趣，下面是具体介绍：

有一对男女，我们就叫他们静希草十郎和苍崎青子好了。

• 草十郎同学是个刚刚步入人类社会的纯真男孩，当对方表露好感时，他会不加掩饰地说出自己的喜爱，当对方口中骂出“笨蛋、讨厌、烦死了！！！”之类的话语时，他也会把那理解成对自己的嫌恶然后逐渐疏远。

• 而青子同学是个傲中之傲的傲娇，面对草十郎同学的示好，她总是摆出一副拒绝的样子，但是察觉到对方逐渐远离自己时，又会突然做出一些温柔的举动，让草十郎同学心动不已。

不妨设：

值越大表示对对方的态度越亲密，正值表示亲密，负值表示疏远。

为了简单起见，二人的恋爱模型可以表示为

常数a、b均为正值。

用形象的理解就是，在由C、Q张成的平面空间中的每一个点（c，q）上都分配了一个向量：

我们在4个象限中分别画一下向量的朝向，不难看出，表示二人亲密状态的曲线轨迹应该是一个圆环，也就是说：二人的亲密关系始终在

四种状态中循环，如下图中所示：

可以用通解法进一步求解，（1）式改写为：

求解参数矩阵的特征方程：

即

将特征值带回（3）式，特征向量为

通解为：

用欧拉公式进一步化简，得

这是一个椭圆的参数方程，与之前的分析一致。

因此，两人的关系会一直处于一个循环的状态，不会有任何实质性进展，但好消息是两人会在1/4的时间内同时持亲密态度，并且两人至少不会彼此莫不关心：也就是到达系统稳定点（0，0）。

综上，笨蛋草十郎永远不会得逞，谁让青子是蘑菇我老婆呢？

Part II.

在大多数恋爱关系中，我们采取的策略显然会更加复杂，于是我们可以建立一个稍微更为普适的模型：

特征方程为

特征值和特征向量的求解略显复杂，但我们可以可以通过刻画平面中的特征值和特征方向来观察系统的演化，展开行列式有：

特征值与矩阵的迹和行列式值的关系为

通解为：

可以分情况讨论

• 特征值异号（且必然为实数）：

这种情况下特征方向为两条直线，且一条直线上的解指数增长，另一条直线上的解指数减小，这种情况，平面中心的不动点称为鞍点（saddle point），系统的相图可以刻画出两人恋爱状态的演化轨迹：

这种情况下，两人恋爱的最终结果可能是走向第一象限的热恋状态，也有可能进入第三象限的对抗状态，具体哪一种则取决于两人的初始感觉。

• 特征值同号：

  $$\mathrm{\Delta }>0$$

  • 特征值为实数：

    $${\tau }^2-4\mathrm{\Delta }>0$$

    这种情况下特征方向是两条直线，且直线上的解同时指数增长或减小，取决于特征值的正负：

    • 特征值为正：

      $$\tau >0$$

      不动点为稳定结点（stable node），系统的相图为：

      

      两人关系最终会走向平淡，既不恋爱，也不对抗。

    • 特征值为负：

      $$\tau <0$$

      不动点为不稳定结点（unstable node），两人的关系最终可能走向四个象限中的任何一个，取决于他们的初始感觉。

  • 特征值为复数：

    $${\tau }^2-4\mathrm{\Delta }<0$$

    相平面中不再具有直线型的特征方向，取而代之的是环形的向量场，此时不动点为中心或焦点

    • 当特征值为纯虚数：

      $$\tau =0$$

      不动点称为中心（center），轨迹既不被吸引也不被排斥，做周期运动（也就是part I.中的情况）

    • 特征值之和为正：

      $$\tau >0$$

      不动点称为稳定焦点（stable spiral），轨迹呈螺旋状，被焦点吸引

    • 特征值之和为负：

      $$\tau <0$$

      不动点称为不稳定焦点（unstable spiral），轨迹呈螺旋状，被焦点排斥

    

综上所述，我们可以用一张图来表示所有不动点的情况，我们可以借由不动点的类型轻易地画出系统的大致相图，并判断系统的最终状态：